Zenon, Achilles und die Schildkröte

Der vergessene Denker Costabile Matarazzo

1869 veröffentlichte der botanisierende Mönch Gregor Mendel einen Aufsatz über Ex­perimente, bei welchen er die Gesetze der Vererbung entdeckt hatte. Der Aufsatz des wissenschaftlichen Außenseiters Mendel blieb 25 lange Jahre lang unbeachtet.
1959 veröffentlichte der philosophierende Journalist Costabile Matarazzo einen Auf­satz über seine verblüffenden Überlegungen zum Zenon’schen Paradox von Achilles und der Schildkröte. Der Aufsatz des wissenschaftlichen Außenseiters Matarazzo blieb bis heute unbeachtet.
Um der Wahrheit auf die Spur zu kommen, hat uns der griechische Philosoph Epimenides ei­ne erlogene Geschichte überliefert.
Ein Kreter habe einmal zu ihm gesagt: "Alle Kreter sind Lügner." Epimenides weist nach, daß diese Aussage eines Kreters über die Kreter in ein logisches Dilemma führt. Wenn es näm­lich stimme, daß alle Kreter Lügner seien, dann müsse sein kretischer Gewährsmann sel­ber einer sein, sei dessen Aussage folglich erlogen. Dann aber seien nicht alle Kreter Lüg­ner, der kretische Gewährsmann könne also selbst einer dieser wahrheitsliebenden Kreter sein, was wiederum hieße, daß seine Aussage stimme, er selber also doch ein Lügner sei.
Diese kleine Geschichte mit der sich im Kreise drehenden Schlußfolgerung verfolgt die abend­ländische Philosophie seit zweieinhalb Jahrtausenden. So richtig zufrieden ist man mit den vorgeschlagenen Lösungen bis heute nicht.

Achilles und die Schildkröte

Die lügnerischen Kreter sind ein Klacks im Vergleich zu dem Ärger, den ein Kollege des Epi­menides, Zenon von Elea, mit seiner Geschichte von Achilles und der Schildkröte der Phi­losophie beschert hat. Sie kennen die Geschichte natürlich, werden sie aber wahr­schein­lich nicht mehr in allen Einzelheiten parat haben.
Achilles, der große Krieger, läuft mit einer Schildkröte über - sagen wir mal - 200 m um die Wet­te. Da Achilles zehnmal schneller läuft als die Schildkröte, bekommt diese der Fairness hal­ber einen Vorsprung von 100 m. Der Gesunde Menschenverstand beharrt darauf, und ist durch nichts von dieser Überzeugung abzubringen, daß Achilles die Schildkröte sehr bald ein­geholt haben wird und damit den Wettlauf gewinnt. Und wenn der Gesunde Men­schen­ver­stand soweit reicht, lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten zu lösen, dann wird er bei un­seren Ausgangszahlen errechnen können, daß Achilles die Schildkröte nach 111,111... m ein­geholt haben wird.
In diese Selbstverständlichkeit bricht Zenon ein und beweist mit logikscharfem Besteck, daß Achilles die Schildkröte niemals einholen wird, niemals einholen kann. In dem Mo­ment nämlich, argumentiert Zenon, da Achilles den Startpunkt der Schildkröte erreicht hat, ist diese ihrerseits 10 m weiter, also bei 110 m. Hat Achilles die 110 m erreicht, so ist er im­mer noch nicht bei der Schildkröte, denn die ist inzwischen wiederum 1 m weiter gekrochen, auf 111 m. Ist Achilles bei 111 m, so ist die Schildkröte bei 111,10 m, und so weiter, und so fort.
Immer dann, wenn Achilles jenen Punkt erreicht hat, an dem die Schildkröte zuletzt war, ist die Schildkröte jeweils wieder ein Stück weiter, so daß Achilles im Laufe des Wettkampfes der Schildkröte zwar sehr, sehr nahekommen wird, sie aber niemals vollständig erreichen und - logischerweise - also auch niemals überholen kann. Denn die Schildkröte bleibt im­mer um ein winziges - wenn auch mit jedem Schritte winziger werdendes - Stück vor Achil­les.
Der Vorsprung der Schildkröte wird, so schlußfolgert Zenon, im Laufe der Zeit zwar un­end­lich klein, völlig verschwinden aber wird er nie. Der schnelle Achilles bleibt also bei al­lem Strampeln stets hinter dem gemächlichen Tier.

Dampfplaudereien

Nicht nur Wissenschaftler, Mathematiker und Philosophen, haben sich im Laufe der Zeit mit dieser Geschichte befaßt. Anspruchsvollere Zeitschriften für das allgemeine Publikum grei­fen im Rahmen von philosophischen Plaudereien Zenons Rätsel gerne auf, wobei die kon­servativeren Blätter es häufig als Beispiel für die Begrenztheit menschlicher Vernunft be­nutzen. Aber auch in den seriöseren Blättern ziehen sich die Autoren gerne mit einigen all­gemeinen Bemerkungen über "Paradoxien" und "Gesunden Menschenverstand" aus der Af­färe. Zenons Paradox sei "nun mal nicht" (eine beliebte Floskel, wenn das Denken aus­setzt) befriedigend aufzulösen, das habe noch keiner gekonnt, da könne man nichts machen. Aber immerhin sei es Zenons Verdienst, durch den Stachel seines Paradoxes die Ent­wick­lung der Infinitesimalrechnung angeregt zu haben.
Die Wissenschaft geht gründlicher an die Sache heran. Ein behördlich anerkannter Phi­lo­soph rückt der Sache mathematisch zu Leibe und verkündet zuversichtlich, Zenons Para­do­xie von Achill und der Schildkröte sei schon lange gelöst. "Achill holt die Schildkröte nach
111,111... m = 100+10+1+0,1+...   m
ein. Der Anschein einer Paradoxie entsteht dadurch, daß Achill sich auch nach Zurücklegung beliebig vieler der positiven Strecken 100, 10, 1, 1/10, 1/100,... immer noch hinter der Schildkröte befindet. Aber die Länge dieser Strecken wird eben immer kleiner und konvergiert gegen 0."
Da hat er recht, der Philosoph. Die obige Formel ist so richtig, wie sie allbekannt ist. Kein Lehr­buch der Infinitesimalrechnung kann es sich verkneifen, einen Hinweis auf Achilles und sei­ne Schildkröte einzuschieben. Stolz, den Trick mit der Unendlichkeit endlich kapiert zu ha­ben, rechnet der Schüler die Gleichung nach, kommt zum richtigen Ergebnis und findet auf der nächsten Seite seines Lehrbuchs eine verschämte Anmerkung des Autors, ihm sei das Gan­ze trotz der mathematisch sauberen Rechnung immer noch irgendwie unheimlich.
Das Unheimliche an Zenons Schilderung des Wettlaufs ist nämlich der - jeder Le­bens­er­fah­rung Hohn sprechende - Eindruck von unglaublicher Mühseligkeit und Anstrengung, mit der Achil­les einen Wegabschnitt nach dem anderen läuft und läuft und dabei der Schildkröte im­mer nur näher und näher kommt, sie aber lange und lange nicht erreicht. Ein Eindruck, der auch mit der Infinitesimalformel im Kopf nicht verschwindet.

Vom Sein und der Verlegenheit

In meinem Lehrbuch der Infinitesimalrechnung war zu lesen, daß die "Paradoxie des Zenon vom mathematischen Standpunkt aus nur so verstanden werden ...(kann)..., daß Achilles die Schild­kröte zwar zu keinem Mal (niemals) innerhalb der unendlichen Folge einzelner Weg- und Zeitintervalle einholt, aber sie dennoch nach einer endlichen Zeitspanne, also nicht ‘nie’, tatsächlich erreicht."
Diese Erklärung ist nun alles andere als zufriedenstellend. Sie läuft, in Alltagsdeutsch über­setzt, auf die Feststellung hinaus, daß Achilles die Schildkröte bestimmt irgendwann, vor dem Ende der Unendlichkeit, erreicht - aber: das kann dauern. Und: Auch dieser Schluß stimmt ganz offensichtlich nicht mit der Beobachtung überein, denn in der Realität wäre das gan­ze Rennen eine Sache von Sekunden.
Auch den Lehrbuchautoren ist klar, daß dies nicht das Gelbe vom Ei ist, denn sie sprechen an­schließend, sichtlich verlegen, von der "kontinuierlichen, bzw. diskontinuierlichen Struk­tur von Raum und Zeit", und von der "Unendlichkeit als potentieller Denkmöglichkeit, bzw. ak­tualer Wirklichkeit", flüchten sich also in das Seins–Gebrabbel des Irgendwie. Und weil ih­nen diese Flucht in die Unverbindlichkeit der Ontologie durchaus bewußt ist fahren sie fort, die "verschiedenen Deutungsversuche im Laufe der Geistesgeschichte" hätten "letzt­lich nur erkenntnistheoretische Bedeutung, während die reine Mathematik auch ohne sie" aus­komme. "Denn die Mathematik schafft sich die Welt ihrer Wirklichkeit selbst."
Entnervt erklären sich also die philosophierende Mathematiker - sicherheitshalber - für un­zu­ständig und reichen den Schwarzen Peter an die Philosophie weiter, die es sich aber an­schei­nend mit der mathematischen Formel ganz kommod eingerichtet hat.
Alle Welt scheint sich um das Zenon’sche Paradox von Achilles und der Schildkröte her­um­zudrücken. Letztlich versucht man uns einzureden, als denkender Mensch müsse man sich damit abfinden, daß logisches Denken zwar wunderbare Gebäude zu erzeugen vermag, die­se Gebäude aber gelegentlich unter einem sanften Fußtritt einfach zerbröseln.

Paradoxien sind logischer Sprengstoff

Paradoxien oder Antinomien sind die Hofnarren der Philosophie. Sie nehmen Prämissen, (in­haltlich) unstreitige Grund–Sätze, von denen jeder vernünftige Mensch ausgehen kann, aus­gehen muß. Dann greifen sie sich - ebenso unstreitige - (formal–)logische Ver­knüpf­ungs­re­geln. Der Baukasten ist komplett: Aus wahren Prämissen und richtigen Ver­knüpf­ungs­re­geln kann - nein muß! - jeder vernünftig denkende Mensch zu wahren, d. h. mit der Realität über­einstimmenden Aussagen kommen. Fein.
Und dann kommt die Realität aus ihrem Loch gekrochen und hat die Stirn, mit den aus wah­­ren Prämissen korrekt abgeleiteten Sätzen nicht übereinzustimmen.
Und das war’s dann? Darüber kann man mit einem schief–verlegenen Lächeln hin­weg­ge­hen?
Man kann es nicht! Solange eine logische Paradoxie unerklärt im Raum stehen bleibt, kann das nur dreierlei heißen:
*         Entweder ich bin nicht in der Lage, richtig zu beobachten, d. h. die scheinbar so evi­den­te Realität ist gar nicht so, wie sie meinen menschlichen Augen erscheint.
*         Oder die Prämissen sind Makulatur.
*         Oder - wer wagt es, zu denken? - meine schöne Logik ist an einer Stelle undicht. So un­dicht, daß sie das Wasser der Wahrheit nicht halten kann.
Wie auch immer: Wer denkt, weil er - abgesehen vom Genuß des Denkens an sich - ir­gend­wann auch ein Ergebnis mit nachhause nehmen will, der kann über Zenons Paradox nicht loc­ker hinweghüpfen, den werden solche Paradoxien beunruhigen bis ins Mark. Denn - ma­chen wir uns das mal in aller Schärfe klar:
*         Daß Zenons Beweisführung falsch sein muß, wissen wir.
*         Wir wissen es aber nur deswegen, weil das Ergebnis der Beweisführung an diesem ei­nen Beispiel absolut absurd ist.
So falsch - das ist allen klar - kann unsere Beobachtung gar nicht sein, Achilles wird zwei­fel­los die Schildkröte überholen.
Solange wir jedoch nicht wissen, warum Zenons Argumentation falsch ist, bleibt ein fol­gen­schwerer Stachel im Gehirn. Was, so bleibt zu fragen, ist in jenen Fällen, in denen die lo­gisch so eindeutig scheinende Beweisführung ebenfalls falsch ist, das falsche Ergebnis die­ser fehlerhaften Beweisführung aber plausibel bleibt, der Fehler im Ansatz also nicht ein­deu­tig und evident ins Auge springt? Können wir uns unter diesen Umständen noch auf un­ser wichtigstes Denkinstrument, die Logik, verlassen?
Das Problem, das sich stellt, ist mit einem Computer vergleichbar, der eigentlich immer zu­ver­lässig arbeitet, bei einer bestimmten einfachen, leicht nachzuprüfenden Berechnung aber im­mer das falsche Ergebnis errechnet und keiner der Hard– und Softwarespezialisten kommt darauf, warum diese eine Sache immer falsch errechnet wird. Wirklich wichtige Berechnungen wird man diesem Computer nicht anvertrauen können, sondern einen anderen neh­men.
Wir haben aber nur diese eine und einzige Logik.

Costabile Matarazzo

Elea, in dem Zenon als Philosoph wirkte, war 500 v. Chr. eine griechische Stadt. Es liegt in Italien, knapp 150 km südlich von Neapel.
Knapp 30 km nördlich von Elea und zweieinhalb Jahrtausende nach Zenon wurde 1911 in Castel­labate Costabile Matarazzo geboren. Er studierte in Neapel, später in Rom, Jura, Lite­ra­turgeschichte und Philosophie.
1959 hielt er in Vallo della Lucania - in Sichtweite des antiken Elea, was wörtlich zu ver­ste­hen ist - einen Vortrag, in welchem er behauptete, das Zenon'sche Paradox von Achilles und der Schildkröte aufgelöst zu haben.
Wiewohl Matarazzo als Journalist italienweit einen gewissen Ruf genoß, wurde er als phi­lo­sophierender Journalist offensichtlich nicht recht ernst genommen. Dazu mag beigetragen ha­ben, daß Matarazzo das schwierige Thema auf eine leicht verständliche, angenehm lesbare Art und Weise dargestellt hat, ein Umstand, der auch einen ausgewiesenen Wissenschaftler schnell in den Verdacht bringt, nichts Substantielles gesagt zu haben.
Tatsache ist, daß weder Matarazzos Vortrag noch sein Aufsatz in der Folgezeit irgendeine Be­­achtung fanden..
1996 ist Costabile Matarazzo in seinem Heimatort Castellabate gestorben.

Die meisten Dinge sind einfach

Nachdem Matarazzo das Problem dargestellt, seine Bedeutung herausgestrichen und die Gren­­zen der bisherigen Lösungsversuche aufgezeigt hat, kommt er zum Kern.
 "Unser Mathematiklehrer, hatte uns, die wir kurz vor dem Abitur standen, eine Haus­auf­ga­be gegeben:

Ein Spaziergänger will von Punkt A zum 5 km weit entfernten Punkt B gehen. Auf sei­nem Wanderhut sitzt eine Amsel, bereit, ebenfalls nach B zu fliegen. Der Spaziergänger geht mit einer gleichmäßigen Geschwindigkeit von 5 km/h, während die Amsel mit der zehn­fachen Geschwindigkeit fliegt. In dem Moment, da der Fußgänger zu seiner Wan­de­rung nach B aufbricht, erhebt sich auch die Amsel von seinem Hut. Wenn die Amsel bei B angekommen ist, dreht sie sofort um und fliegt zum Wanderer zurück.

Ist die Amsel beim Wanderer, der inzwischen seinerseits ein Stück Weg zurückgelegt hat, angekommen, dreht sie sofort wieder um, fliegt nach B, dreht dort um, fliegt bis zum - inzwischen noch näher gekommenen - Spaziergänger usw. usf. - bis schließlich auch der Wanderer bei B angekommen ist.

Die Frage lautete nun: Wieviel Kilometer hat die zwischen dem festen Punkt B und dem ständig sich verändernden Punkt F (gleich Fußgänger) hin– und herpendelnde Am­sel zurückgelegt?

Vor Eifer glühend schloß ich mich an diesem Nachmittag in meinem Zimmer ein, kon­zen­trier­te mich darauf, Bewegungsgleichungen für Fußgänger und Amsel aufzustellen. Meh­rere Stunden lang hatte ich einen winzigen, aber entscheidenden Fehler im Ansatz, machte dann noch ein, zwei Rechenfehler und war schließlich - es war bereits weit nach Mit­ter­nacht - zum, wie sich herausstellte, richtigen Ergebnis gekommen.

Unser Mathematiklehrer lobte mich am nächsten Tag für meinen Fleiß und meine Aus­dau­er, immerhin war ich der einzige in der Klasse gewesen, der das richtige Ergebnis ge­fun­den hatte. Dann lächelte er uns an und meinte, es gebe noch einen anderen Ansatz. Der Fuß­gänger sei doch eine Stunde unterwegs? Wir nickten - ganz leicht auszurechnen. Also flie­ge logischerweise auch die Amsel eine Stunde. Wir mußten wieder nicken. Die Amsel er­rei­che 50 km/h, also müsse sie in der einen Stunde 50 km zurücklegen.

Damals ging ich weinend von der Schule nachhause.

Meine bleibende Erkenntnis aus dieser ebenso bitteren wie prägenden Erfahrung läßt sich so formulieren:

Die meisten Dinge sind einfach. Sie werden erst durch schlaue Leute zum Problem.

Zenon und die Zeitlupe

Und dann fährt er fort:

Es wird nun Zeit, sich endlich auf das Problem selbst zu konzentrieren. Lassen wir das Ren­nen mehrmals - unter verschiedenen Blickwinkeln - vor unserem geistigen Auge ab­lau­fen.

Wie würde ein unbefangener, philosophisch oder physikalisch nicht vorgebildeter Be­ob­ach­ter die Szene beschreiben?

*        Beide Sportler laufen los, die Schildkröte langsam, Achilles erheblich schneller. Bald hat Achilles die Schildkröte eingeholt, überholt und wird schließlich über­le­ge­ner Sieger.

Nun stellen wir uns einen physikalisch geschulten Beobachter vor und bitten ihn, den Ab­lauf des Rennens möglichst präzise festzuhalten:

*        Achilles ist anfangs bei Punkt 0, die Schildkröte bei Punkt 100 und beider Ziel ist Punkt 200. Nach einer gewissen Zeitspanne t ist Achilles bei 50, die Schildkröte da­ge­gen (sie hat nur ein Zehntels des Weges von Achilles zurückgelegt) bei 105. Nach der doppelten Zeit 2·t ist Achilles bei 100, die Schildkröte bei 110. Nach der drei­fa­chen Zeit 3·t ist Achilles bei 150 und die Schildkröte bei 115.

Achilles hat also die Schildkröte bereits überholt. Den Rest des Beobachtungsprotokolls kön­nen wir uns sparen.

Zu guter Letzt lassen wir Zenon das Rennen beschreiben.

*        Achilles ist anfangs bei Punkt 0, die Schildkröte bei Punkt 100 und beider Ziel ist Punkt 200. Nach einer gewissen Zeitspanne t ist Achilles bei 100, die Schildkröte da­ge­gen bei 110. Nach einer weiteren Zeitspanne 1/10·t ist Achilles bei 110, die Schild­krö­te dagegen bei 111. Nach wiederum einer Zeitspanne 1/100·t ist Achilles bei 111, die Schildkröte dagegen bei 111,10, zum Zeitpunkt 1/1000·t, schließlich ist Achilles bei 111,10, die Schildkröte dagegen bei 111,11 usw. usf.

Achilles wird die Schildkröte niemals einholen.

Merken Sie was? Merken Sie den Unterschied? Der normale, physikalisch geschulte Be­ob­ach­ter benutzt für seine Beschreibung gleiche Zeitabstände, Zenon dagegen wählt ein Be­ob­ach­tungsintervall, das von Meßpunkt zu Meßpunkt kleiner wird.

Lassen Sie es mich Ihnen noch etwas anschaulicher darstellen: Stellen Sie sich vor, das Ren­nen zwischen Achilles und der Schildkröte wäre mit einer Filmkamera aufgenommen wor­den und unsere Beobachter sehen sich jetzt den Film an.

*        Der naive Beobachter läßt den Film einfach ablaufen und freut sich dran.
*        Der physikalische Beobachter läßt den Film an vier - zeitlich gleich weit entfernten - Stel­len anhalten, notiert sich die Zwischenstände und läßt dann jeweils weiter lau­fen.
*        Zenon hingegen sieht sich den Film bis zur Hälfte ganz normal an, schaltet dann den Pro­jektor auf Zehnfach-Zeitlupe, stellt fest, daß Achilles (bei der Projektion) für den we­sentlich kürzeren Weg nun genauso lange braucht wie zuvor für den langen, schal­tet nun auf hundertfache Über-Zeitlupe, macht wiederum die gleiche Beobachtung von Achilles’ Langsamwerden und schaltet dann auf Super-, schließlich auf Giga-Zeit­lupe usw. usf.

Das heißt: Zenon "beobachtet" in diesem Gedankenexperiment gar nicht, daß Achilles die Schildkröte niemals einholen wird.

Sondern?

Sondern er weigert sich einfach, hinzuschauen, solange hinzuschauen, bis Achilles das Tier eingeholt hat. Indem er die Beobachtung, nur die Beobachtung, nicht den tatsäch­li­chen Ablauf ad infinitum zerdehnt, kommt er zu seinem sensationellen, beunruhigenden Pa­ra­dox

"Achilles ist ganz knapp hinter der Schildkröte. So, in der Bewegung eingefroren, wie die bei­den jetzt sind, lassen wir sie stehen und diskutieren die nächsten zweieinhalb Jahr­tau­sen­de darüber, warum Achilles die Schildkröte nicht einholen kann."

Hätte Zenon die Geschichte auf diese Weise erzählt, hätte er niemals Generationen von Phi­losophen und Mathematikern zum Narren halten können. So aber zwingt er sie mit ei­nem Taschenspielertrick zu komplexen Infinitesimalgleichungen, wo Kopfrechnen - ach was!: - Nachdenken genügt hätte."

Soweit Costabile Matarazzo.
Das Bemerkenswerte an Matarazzos Aufsatz ist die Tatsache, daß er das philosophische Prob­lem nicht mathematisch angeht, sondern eben philosophisch. Matarazzo lenkt die Auf­merk­samkeit auf den Umstand, daß Zenon vorgibt, ein Bewegungsproblem konstruiert zu ha­ben, während der ganze Ärger lediglich eine Sache der auf den Sankt Nimmerleinstag ver­zö­gerten Beobachtung ist. Zenon macht die Beobachtungsintervalle so klein und immer klei­ner, daß er faktisch nie dazu kommt, einen Strich zu ziehen und sein "Jetzt ist’s pas­siert!" unter das Beobachtungsprotokoll zu schreiben.
Oder, anders ausgedrückt: Matarazzo löst das Problem nicht, das seit Newton und Leibniz je­der Gymnasiast lösen kann, sondern er zerfetzt die Fragestellung. Zenons Problem braucht kei­ne Lösung, weil das Problem nicht existiert.
Und wenn ich die Geschichte der nachmittelalterlichen Mathematik noch richtig im Kopf ha­be, dann war es in der Tat nicht der Stachel Zenons, der die Infinitesimalrechnung aus den Hir­nen hervorgekitzelt hat, sondern Newtons und Leibniz’ Notwendigkeit, die Bewegung der Planeten mathematisch in den Griff zu bekommen.
Muß ich noch extra erwähnen, daß Costabile Matarazzo auch das logische Paradox vom lü­gen­den Kreter mit einem eleganten Schlenker in wenigen Sätzen erledigt?
"Ein logischer Teufelskreis", stimmt Matarazzo hinterfotzig zu, "aus dem es kein Ent­rin­nen gibt - wenn...

Wenn denn das Wort "Lügner" bedeuten würde, daß jeder Aussagesatz eines Lügners er­lo­gen wäre. Nun ist Ihnen klar, daß dem nicht so ist, weil dem nicht so sein kann. Niemand ist in der Lage, bei allem, was er sagt, die Unwahrheit zu sprechen (sowenig wie im üb­ri­gen der umgekehrte Fall möglich ist - wir lügen alle ab und zu, und sei es aus Höflichkeit und Erbarmen). Ein "Lügner" ist vielmehr ein Mensch, der bedeutend häufiger als der Nor­malmensch die Unwahrheit sagt. So gesehen dürfen wir auch dem dreistesten Lügner glau­ben, wenn er von sich behauptet, er sei ein Lügner."